Volatile Yard 挥洒自如 Write anything I want to write...

一直都喜欢看甲斐谷忍的《欺诈游戏》，每个游戏及计谋都设计得精采且严谨合理。在最近的第70话里，看到了一个数学概率问题，但作者没展示其算法就说其概率是约62%了。这其中的算法其实不太重要，毕竟故事里的计谋都设计得蛮有深度，而许多角色都是数学高手，这点小算法也真不太值得一提了。但喜欢数学的我忍不住想验证这数字，并想想如何速算这概率。

问题是这样的（应该无剧透吧！）：以上的12张扑克牌中有三张A。现从其任意抽出三张牌。请问抽中至少一张A牌的概率是多少？故事中的高手如何算得这么快?

你动了脑筋吗？ ☺ 我的分析如下。

先说说具体算法。第一次抽不到A牌的几率为 9/12，第二次还抽不到A牌的几率为 8/11，第三次则为 7/10。所以三次都抽不中任何A牌的几率为 9/12 x 8/11 x 7/10 = 21/55。也可用组合数计算：从12张牌抽出3张的组合数为 ₁₂C₃，而抽不中任何一张A牌的组合数等于从9张非A牌中抽出3张牌的组合数，即 ₉C₃。所以抽不中任何一张A牌的几率为 ₉C₃ / ₁₂C₃ = ((9x8x7)/(1x2x3)) / ((12x11x10)/(1x2x3)) = (9x8x7)/(12x11x10) = 21/55。所以抽中至少一张A牌的几率即为 1 - 21/55 = 34/55 = 0.61818... = 61.8...%。

再谈谈速算。从 1 - (9x8x7)/(12x11x10) 算出并 34/55 不难。若要应付各类组合计算，更可用贾宪三角（Pascal Triangle）｀防身＇，快速查找出 ₉C₃ / ₁₂C₃ = 84/220 并约分得 21/55。再看看 34/55 很接近 33/55 = 3/5 = 0.6，故从 34/55 = 33/55 + 1/55 = 0.6 + 约0.02，故很容易得出约62%。

计算 34/55 还有一妙法。对数学及数字敏感者可能已注意到那儿会见到34及55在一起了！它们出现在神奇的费波纳茨数列（Fibonacci Sequence）中并且相邻：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...。那又如何？数列中相邻数学互除接近黄金比(Golden Ratio)，其中 F_n / F_n-1 约为 φ，而 F_n-1 / F_n 约为 1/φ 即 φ-1。你若知道黄金比φ就应也知道它约为 1.61803...，并可轻易算出 34/55 约为 φ-1 ＝ 61.8...%！

漫画里的高手们可算得这么快，也有道理吧，哈！